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LT3648 2019-1-6 03:32 PM

以棣莫弗公式推導歐拉公式快而簡

[url=https://www.youtube.com/watch?v=sKtloBAuP74]https://www.youtube.com/watch?v=sKtloBAuP74[/url]
以上影片用級數推導歐拉公式,雖然不失為一個方法,但未免繁複難記,費時失事,唔夠精簡,所以本帖嘗試以棣莫弗公式推導以作補充:

歐拉公式
e^ix=cosx+isinx

歐拉恆等式
e^iπ+1=0

現以棣莫弗公式推導:
cos(nΘ)+isin(nΘ)=[cos(Θ)+isin(Θ)]^n
Let Θ=x/n
cos(x)+isin(x)=[cos(x/n)+isin(x/n)]^n
lim n--->∞
[cos(x/n)+isin(x/n)]^n
[cos(0)+ix/n]^n   (since n->∞ sin(x/n)=x/n)
(1+ix/n)^n     (since n->∞ (1+1/n)^n=e => (1+x/n)^n=e^x => (1+ix/n)^n=e^ix)
e^ix

>>歐拉公式
e^ix=cos(x)+isin(x):victory:

let x=π
e^iπ=cos(π)+isin(π)
e^iπ= -1+i(0)
e^iπ= -1

>>歐拉恆等式
e^iπ+1=0:victory:

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