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LT3648 2018-12-30 02:24 PM

球體面積四倍於圓形面積咁巧合?

球體面積=4πr^2
圓形面積=πr^2

另外,
圓周乘直徑=2πr x 2r=4πr^2
又等於球體面積=4πr^2:smile_41:


請問是巧合?還是有甚麼玄機?:loveliness:

[[i] 本帖最後由 LT3648 於 2018-12-30 03:48 PM 編輯 [/i]]

xianrenb 2018-12-30 09:16 PM

[quote]原帖由 [i]LT3648[/i] 於 2018-12-30 02:24 PM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=492667761&ptid=27941303][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
球體面積=4πr^2
圓形面積=πr^2

另外,
圓周乘直徑=2πr x 2r=4πr^2
又等於球體面積=4πr^2:smile_41:


請問是巧合?還是有甚麼玄機?:loveliness: [/quote]

看了
[url=https://en.wikipedia.org/wiki/Sphere#Surface_area]https://en.wikipedia.org/wiki/Sphere#Surface_area[/url]

以我的理解,可以用 spherical coordinates (我成日當它是 polar coordinates ,原來用錯名稱)來計算。
考慮球表面有個要測量的點。
個球半徑為 r ,由頂/北極起度,北極至中心點至要測量的點,的夾角或圓心角,叫 θ 。
想像一個與赤道平行的,穿過要測量的點的平面,與球會相交成一個圓形。
這個圓形可以分成好多 sector 或扇形,與要測量的點相關的扇形的圓心角叫 φ 。

那麼,前述的與赤道平行的圓形,圓周為 2 π r sin θ 。
cut 一小段出來,相關的 φ 變化了 dφ ,長度就會是 2 π r sin θ dφ / (2 π) = r sin θ dφ。
當這小段是一條直線,考慮在球表面的一小段垂直於此直線的另一段直線。
如果相關的 θ 變化了 dθ ,其長度就會是 r dθ 。
這個小小長方形的面積,就會是 (r sin θ dφ) * (r dθ) 。
於是球的總面積,就會是
A = ∫_{θ=0..π} ∫_{φ=0..2π} (r sin θ dφ) * (r dθ)
= r^2 ∫_{θ=0..π} ∫_{φ=0..2π} sin θ dθ dφ
= r^2 (∫_{θ=0..π} sin θ dθ) (∫_{φ=0..2π} dφ)
= r^2 ([-cos θ]_{θ=0..π}) ([φ]_{φ=0..2π})
= r^2 (1 - (-1)) (2π - 0)
= r^2 2 2π
= 4 π r^2

LT3648 2018-12-30 09:24 PM

[quote]原帖由 [i]xianrenb[/i] 於 2018-12-30 09:16 PM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=492683522&ptid=27941303][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]


看了
[url=https://en.wikipedia.org/wiki/Sphere#Surface_area]https://en.wikipedia.org/wiki/Sphere#Surface_area[/url]

以我的理解,可以用 spherical coordinates (我成日當它是 polar coordinates ,原來用錯名稱)來計算。
考慮球表面有個要測量的點。
個球半徑為 r ,由頂/北極起度,北極至中心點至要測量的點,的夾角或圓心角,叫 θ 。
想 ... [/quote]


謝分享數學推導,但好似無答本帖的問題,介唔介意答答添呢?:smile_35:

xianrenb 2018-12-30 09:41 PM

[quote]原帖由 [i]LT3648[/i] 於 2018-12-30 09:24 PM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=492683841&ptid=27941303][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]



謝分享數學推導,但好似無答本帖的問題,介唔介意答答添呢?:smile_35: [/quote]

我看圓形面積都可以用 integration 計算出來。
球體表面面積如前面 integration 計算。
兩者都是用 integration ,亦都是計面積,所以有某個簡單比例,應該合理。
好難說是否巧合。

LT3648 2018-12-30 09:51 PM

[quote]原帖由 [i]xianrenb[/i] 於 2018-12-30 09:41 PM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=492684561&ptid=27941303][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]


我看圓形面積都可以用 integration 計算出來。
球體表面面積如前面 integration 計算。
兩者都是用 integration ,亦都是計面積,所以有某個簡單比例,應該合理。
好難說是否巧合。 ... [/quote]

球面是曲面,圓面積是平面,比例剛好是四倍的整數,我認為不是巧合,應該是某種未被發現的自然規律。:smile_13:

[[i] 本帖最後由 LT3648 於 2018-12-31 04:27 PM 編輯 [/i]]

xianrenb 2018-12-31 07:43 PM

[quote]原帖由 [i]LT3648[/i] 於 2018-12-30 09:51 PM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=492685114&ptid=27941303][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]


球面是曲面,圓面積是平面,比例剛好是四倍的整數,我認為不是巧合,應該是某種未被發現的自然規律。:smile_13: [/quote]

原來 YouTube 最近剛好有你問的問題。

[url=https://www.youtube.com/watch?v=GNcFjFmqEc8]https://www.youtube.com/watch?v=GNcFjFmqEc8[/url]

剛看了,以前不知道可以這樣看這個問題。

LT3648 2018-12-31 09:19 PM

[quote]原帖由 [i]xianrenb[/i] 於 2018-12-31 07:43 PM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=492724631&ptid=27941303][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]


原來 YouTube 最近剛好有你問的問題。

[url=https://www.youtube.com/watch?v=GNcFjFmqEc8]https://www.youtube.com/watch?v=GNcFjFmqEc8[/url]

剛看了,以前不知道可以這樣看這個問題。 [/quote]



球體面積=4πr^2
圓形面積=πr^2

圓形面積=πr^2
變為
三角形西積=2πr.r/2=πr^2

咁啱嘅!都係巧合喎!:lol



圓周乘直徑=2πr x 2r=4πr^2
又等於球體面積=4πr^2
影片的解釋好複雜。
其實圓柱面積又可分為四個上面的三角形,又咁啱嘅!:smile_15:



始終答唔到是甚麼自然規律或玄機。;P

[[i] 本帖最後由 LT3648 於 2019-1-1 11:19 AM 編輯 [/i]]

macaupro909 2018-12-31 11:14 PM

四個圓造成四個圓鏡,中間穿插粘貼起來,北頂遠處望去是一個十字,東西遠處望是圓形,好似切開西瓜四件的切軌。
當四面鏡是地球,從東方拉遠去看,地球自轉一圈,數到四個鏡,也是四個圓面積。
將鏡分開成細少鏡片,鋪到地球表面,鏡子角度相同,東方拉遠望去,地球自轉0,90,180,270度分別看到四個圓鏡,跟之前冇分別。
...之後省略,你明的。

LT3648 2019-1-1 11:22 AM

[quote]原帖由 [i]macaupro909[/i] 於 2018-12-31 11:14 PM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=492731757&ptid=27941303][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
四個圓造成四個圓鏡,中間穿插粘貼起來,北頂遠處望去是一個十字,東西遠處望是圓形,好似切開西瓜四件的切軌。
當四面鏡是地球,從東方拉遠去看,地球自轉一圈,數到四個鏡,也是四個圓面積。
將鏡分開成細少鏡片,鋪到地球表面,鏡子角度相同,東方拉遠望去,地球自轉0,90,180,270度分別看到四個圓鏡,跟之前冇分別。
...之後省略,你明的。 ... [/quote]


可否以代數計計去證明?:smile_53:

macaupro909 2019-1-1 03:09 PM

[quote]原帖由 [i]LT3648[/i] 於 2019-1-1 11:22 AM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=492743230&ptid=27941303][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

可否以代數計計去證明?:smile_53: [/quote]用代數,真係唔識。
睇有冇高人可以用數學語言寫出我的概念。

LT3648 2019-1-1 08:12 PM

[quote]原帖由 [i]macaupro909[/i] 於 2019-1-1 03:09 PM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=492752837&ptid=27941303][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
用代數,真係唔識。
睇有冇高人可以用數學語言寫出我的概念。 [/quote]

可惜!;P

rhwlam 2019-1-2 02:06 PM

[quote]原帖由 [i]LT3648[/i] 於 2018-12-31 21:19 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=492727650&ptid=27941303][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
球體面積=4πr^2
圓形面積=πr^2

圓形面積=πr^2
變為
三角形西積=2πr.r/2=πr^2

咁啱嘅!都係巧合喎!:lol [/quote]
[attach]9173426[/attach]
可以這樣想.
將一個圓面(左上)看成是很多個圈, 而每個圈是彎曲了的直條. 我們若將這所有環拉直(右上)而拼成一個三角形(底長為2piR, 高為R), 其面積和圓球是一樣的.
我們將這些直條每一條都屈成一個環(直條的面向外), 這些環可以拼成圓球體上半(或下半)的側面(右下的黑邊).
另外, 我們考慮另一個圓面(左下), 同樣是看成是很多個圈. 現在我們把每一個圈拼成半個球體的上(或下)面, 即右下圖顯示的白色環狀面.
所以, 我們用兩個圓面就可以拼成上半球的表面.
同理, 我們用四個圓面就可以拼成整個球的表面.
所以圓球的表面面積為4piR^2.

LT3648 2019-1-2 02:34 PM

[quote]原帖由 [i]rhwlam[/i] 於 2019-1-2 02:06 PM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=492799879&ptid=27941303][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

9173426
可以這樣想.
將一個圓面(左上)看成是很多個圈, 而每個圈是彎曲了的直條. 我們若將這所有環拉直(右上)而拼成一個三角形(底長為2piR, 高為R), 其面積和圓球是一樣的.
我們將這些直條每一條都屈成一個環(直條的面向外), 這些環可以拼成圓球體上半(或下半)的側面(右下的黑邊).
另外, 我們考慮另一個圓面(左下), 同樣是看成是很多個圈. 現在我們把每一個圈拼成半 ... [/quote]


直條的闊度要無限小才計到的。
咦!上半球所有直條無限小闊度的總和,應該是圓周四分一,不是r喎!;P

[[i] 本帖最後由 LT3648 於 2019-1-2 06:17 PM 編輯 [/i]]

XMing 2019-1-2 05:14 PM

[quote]原帖由 [i]rhwlam[/i] 於 2019-1-2 02:06 PM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=492799879&ptid=27941303][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

9173426
可以這樣想.
將一個圓面(左上)看成是很多個圈, 而每個圈是彎曲了的直條. 我們若將這所有環拉直(右上)而拼成一個三角形(底長為2piR, 高為R), 其面積和圓球是一樣的.
我們將這些直條每一條都屈成一個環(直條的面向外), 這些環可以拼成圓球體上半(或下半)的側面(右下的黑邊).
另外, 我們考慮另一個圓面(左下), 同樣是看成是很多個圈. 現在我們把每一個圈拼成半 ... [/quote]

好似有些問題, 三角形面積是 PI*r^2.上面和下面拼埋=2*pi*r^2? 可解析一下?

[[i] 本帖最後由 XMing 於 2019-1-2 05:39 PM 編輯 [/i]]

rhwlam 2019-1-2 06:27 PM

[quote]原帖由 [i]XMing[/i] 於 2019-1-2 17:14 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=492808715&ptid=27941303][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
好似有些問題, 三角形面積是 PI*r^2.上面和下面拼埋=2*pi*r^2? 可解析一下? [/quote]
[attach]9174205[/attach]
我試把立體的表面分成四個部份. 每個部分的面體為piR^2.
勞煩看一下這樣有沒有道理. 謝謝.

[[i] 本帖最後由 rhwlam 於 2019-1-2 06:29 PM 編輯 [/i]]

rhwlam 2019-1-2 06:40 PM

嗯... 的確有是問題. 拼出來好像是圓錐體, 而不是球體.
我實在太蠢了...

[[i] 本帖最後由 rhwlam 於 2019-1-2 08:56 PM 編輯 [/i]]

rhwlam 2019-1-4 10:40 AM

算是想到了... 我真蠢...

[[i] 本帖最後由 rhwlam 於 2019-1-4 04:59 PM 編輯 [/i]]

XMing 2019-1-4 01:30 PM

[quote]原帖由 [i]rhwlam[/i] 於 2019-1-2 06:27 PM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=492812451&ptid=27941303][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

9174205
我試把立體的表面分成四個部份. 每個部分的面體為piR^2.
勞煩看一下這樣有沒有道理. 謝謝. [/quote]

球面是彎曲的. 而且不同地方彎曲的程度都不同. 所以我覺得每一段切出來都不是圓柱型. 只可以想成是一個frustum.
公元前大約三世紀, 在微積分還沒有發現的時候, Archimedes 早巳想出球面的體積與表面積是 4/3*pi*r^3及 4*pi*r^2
當然裡面亦有積分的思想.

網上亦有很多關於這方面的資料. 找找就可以找到答案知道是怎樣推導出來(沒有利用微積分).

[[i] 本帖最後由 XMing 於 2019-1-4 01:32 PM 編輯 [/i]]

LT3648 2019-1-4 02:07 PM

[quote]原帖由 [i]rhwlam[/i] 於 2019-1-2 02:06 PM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=492799879&ptid=27941303][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

9173426
可以這樣想.
將一個圓面(左上)看成是很多個圈, 而每個圈是彎曲了的直條. 我們若將這所有環拉直(右上)而拼成一個三角形(底長為2piR, 高為R), 其面積和圓球是一樣的.
我們將這些直條每一條都屈成一個環(直條的面向外), 這些環可以拼成圓球體上半(或下半)的側面(右下的黑邊).
另外, 我們考慮另一個圓面(左下), 同樣是看成是很多個圈. 現在我們把每一個圈拼成半 ... [/quote]




[img]https://cdn.discuss.com.hk/t/1d7505/f/800x0/https://img.discuss.com.hk/d/attachments/day_190102/20190102_9ffb7558d4493ddaf49dFDy1LQGdMjSm.jpg[/img]



版友以上構思其實可利用的,只要略為修改下就可以了,附上影片參考::loveliness:
這個推導是不用微分也可以計出球體面積的。

[url=https://www.youtube.com/watch?v=UDbOJmNpgGA]https://www.youtube.com/watch?v=UDbOJmNpgGA[/url]

[[i] 本帖最後由 LT3648 於 2019-1-4 02:43 PM 編輯 [/i]]

rhwlam 2019-1-4 04:56 PM

[quote]原帖由 [i]LT3648[/i] 於 2019-1-4 14:07 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=492896713&ptid=27941303][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
附上影片參考... [/quote]
我另外也終於想到了, 大概關係是:
2pi*R*δR (圓柱體分割成δR高的外環面積) = 2pi*(Rsinθ)*(δR/sinθ) (圓球體在對應位置分割成δR高的外環面積)
[attach]9180827[/attach]

這應與師兄的影片是同一個意思. 感謝師兄一番心意.

rhwlam 2019-1-4 04:59 PM

[quote]原帖由 [i]XMing[/i] 於 2019-1-4 13:30 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=492894973&ptid=27941303][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
球面是彎曲的. 而且不同地方彎曲的程度都不同. 所以我覺得每一段切出來都不是圓柱型. 只可以想成是一個frustum.
公元前大約三世紀, 在微積分還沒有發現的時候, Archimedes 早巳想出球面的體積與表面積是 4/3*pi*r^3及 4*pi*r^2
當然裡面亦有積分的思想.
網上亦有很多關於這方面的資料. 找找就可以找到答案知道是怎樣推導出來(沒有利用微積分). ... [/quote]
謝謝. 我終於想通了.
這麼簡單的問題我也想錯了, 還想了一段時間才想到, 我真蠢.. :smile_27:

LT3648 2019-1-4 05:18 PM

[quote]原帖由 [i]rhwlam[/i] 於 2019-1-4 04:56 PM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=492904746&ptid=27941303][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

我另外也終於想到了, 大概關係是:
2pi*R*δR (圓柱體分割成δR高的外環面積) = 2pi*(Rsinθ)*(δR/sinθ) (圓球體在對應位置分割成δR高的外環面積)
9180827

這應與師兄的影片是同一個意思. 感謝師兄一番心意. ... [/quote]


請留意,以上方法是利用similar大三角形和小三角形的斜邊和某邊以比例推導,但其實那小三角形的斜邊是曲線,並非直線,為何這比例仍有效呢?其實這方法是要求該曲線的長度接近無限短,就相當於直線了,唔知咁講啱唔啱。:smile_35:

[[i] 本帖最後由 LT3648 於 2019-1-4 05:55 PM 編輯 [/i]]
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