查看完整版本 : 廣義相對論 youtube

xianrenb 2018-10-19 08:46 PM

廣義相對論 youtube

[url=https://www.youtube.com/watch?v=SwhOffh0kEE&list=PLpGHT1n4-mAvcXwzOIz3dHnGZaQP1LEib]https://www.youtube.com/watch?v=SwhOffh0kEE&list=PLpGHT1n4-mAvcXwzOIz3dHnGZaQP1LEib[/url]

雖然曾經看過其他關於廣義相對論的短片。
但一直都不能理解什麼是廣義相對論。
結果看了這堆 lecture (不知為何個 playlist 次序反轉了。),才算有個真正了解。
某程度可說,我認為看其他短的 youtube video 只是浪費時間。
這堆 lecture 雖然長,但能看完的話,會真正明白廣義相對論是什麼東西。
當然,這應是大學程度的東西,所以要看得明,要有一定程度的數學根底。
推介給想了解的網友。

rhwlam 2018-12-15 08:59 PM

[quote]原帖由 [i]xianrenb[/i] 於 2018-10-19 20:46 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=489205309&ptid=27792978][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
雖然曾經看過其他關於廣義相對論的短片。 [/quote]
請問師兄有否看過這段影片? 我本來是完全不懂的, 剛看完了, 這個影片好像還不錯.
[url]https://www.youtube.com/watch?v=foRPKAKZWx8[/url]

xianrenb 2018-12-15 09:40 PM

[quote]原帖由 [i]rhwlam[/i] 於 2018-12-15 08:59 PM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=492035523&ptid=27792978][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

請問師兄有否看過這段影片? 我本來是完全不懂的, 剛看完了, 這個影片好像還不錯.
[url=https://www.youtube.com/watch?v=foRPKAKZWx8]https://www.youtube.com/watch?v=foRPKAKZWx8[/url] [/quote]

我不太肯定,但應該是看過。
印像中也是一樣,個推演是不完整、跳 step 的。

其實我最不明白是那個 4 π G ρ 是怎樣來。
我在 [url=https://www.discuss.com.hk/viewthread.php?tid=27861424&extra=page%3D1]https://www.discuss.com.hk/viewthread.php?tid=27861424&extra=page%3D1[/url] ( 3 樓)想到了一個簡單計算方法。
但問題/重點是,這個方法或者別的方法,應該只能用於 3D 空間 + 1D 時間。
我認為空間與時間不是直接對等的東西。
而且,如果廣義相對論是以 4D 方式來計算的話,按理就不應該是用 4 π G ρ ,而會是別的數值。
因為這個數值是用 3D 空間來算出的。

rhwlam 2018-12-15 10:06 PM

[quote]原帖由 [i]xianrenb[/i] 於 2018-12-15 21:40 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=492037079&ptid=27792978][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
其實我最不明白是那個 4 π G ρ 是怎樣來。 [/quote]
影片的~1:48:00關始有個說法, 雖不算很嚴謹(從牛頓力學為特例, 再引申至廣義描述), 但也算言之成理.

topochu 2018-12-16 12:41 AM

[quote]原帖由 [i]xianrenb[/i] 於 2018-12-15 09:40 PM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=492037079&ptid=27792978][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
我不太肯定,但應該是看過。
印像中也是一樣,個推演是不完整、跳 step 的。

其實我最不明白是那個 4 π G ρ 是怎樣來。
我在 [url=https://www.discuss.com.hk/viewthread.php?tid=27861424&extra=page%3D1]https://www.discuss.com.hk/viewthread.php?tid=27861424&extra=page%3D1[/url] ( 3 樓)想到了一個簡單計算方法。
但問題/重點是,這個方法或者別的方法,應該只能用於  ... [/quote]

4πρG係將牛頓重力公式寫成Poisson形式時嘅源項。咁做可以話係受靜電學入面嘅Poisson公式所啟發。問點推導Einstein場公式喺性質上同問點推導牛頓第二運動定律一樣,並無有義意嘅方法。Einstein場公式喺靜、弱場條件下要變成牛頓重力定律係因為一直用咗咁耐都(近似地)正確。

xianrenb 2018-12-16 09:39 AM

我對於物理的認知,只達中學程度。
也就沒有學過 divergence 或相關的數學工具。

前面 2 樓的影片近 1:48 處算是看過了。
看來重點是 Divergence Theorem 。
[url=https://en.wikipedia.org/wiki/Divergence_theorem]https://en.wikipedia.org/wiki/Divergence_theorem[/url]
不過就算是 wikipedia ,也沒有直接說明這個 Divergence Theorem 是如何推導出來的。
以我的角度看,也一樣是跳 step 。
或者可以說,這樣推導相對論算式,變相又多了一個 axiom 。
而且,看似沒有說明為何類似算法,可以對 tensor 中其他 component 同樣合適。

我看把 div F 與 -4 π G ρ 扯上關係實質上是把 F 與 mass 、 volume 及 G constant 扯上關係。
而其實,也就等效於 F = m a = G M m / r^2 的算式。
而這個算式根本是一種定義。
所定義的,就是 mass 及 G constant 是什麼。
而 G constant 只是一種單位換算用的 constant ,所以實質就是定義什麼是 mass 。
說到底, mass 只是一種加速度表現的量度。
ρ 只是等效於 mass 、可以換算的東西。

然而,現實共有 3D 空間 (x, y, z) + 1D 時間 (t) 。
只得一個 ρ 來代表這些數值的變化肯定有所不足。
我在 3 樓中的連結帖子中,就導出了總共 4 個 ρ 出來,應該就足夠代表所有可能的變化了。
反而原廣義相對論的算式中, tensor 共有 16 個 component 。
雖然我知因為對稱原因,實質只有 10 個,但 10 個豈不是比 4 個多出 6 個出來?
以我的理解,這表示這種算式,不可解。
我的意思是,給出 N 個數目的 data sample 的 (x, y, z, t) 組,應該會是算不出等效的 N * 10 個 tensor component 出來。
因為後者的資料量,比前者多。

p.s.
我一時弄錯,前面的情況應該是說,沒有唯一解。
但我看沒有理由一個 (x, y, z, t) 對應多個可能的 tensor 出來吧?
而且反過來看,如果 10 個 tensor component 是任意值,想找對應的 (x, y, z, t) 就是不可解了。
即是類似有 10 條算式找 4 個未知數的情況。

[[i] 本帖最後由 xianrenb 於 2018-12-16 10:37 AM 編輯 [/i]]

rhwlam 2018-12-16 10:46 AM

[quote]原帖由 [i]xianrenb[/i] 於 2018-12-16 09:39 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=492051145&ptid=27792978][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
看來重點是 Divergence Theorem 。
[url=https://en.wikipedia.org/wiki/Divergence_theorem]https://en.wikipedia.org/wiki/Divergence_theorem[/url]
不過就算是 wikipedia ,也沒有直接說明這個 Divergence Theorem 是如何推導出來的。
以我的角度看,也一樣是跳 step 。[/quote]
[attach]9112861[/attach]
這是基本的理解. 更完整的推導可看:
[url]http://www.math.ncku.edu.tw/~rchen/Advanced%20Calculus/divergence%20theorem.pdf[/url]

xianrenb 2018-12-16 02:24 PM

[quote]原帖由 [i]rhwlam[/i] 於 2018-12-16 10:46 AM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=492052754&ptid=27792978][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

9112861
這是基本的理解. 更完整的推導可看:
[url=http://www.math.ncku.edu.tw/~rchen/Advanced%20Calculus/divergence%20theorem.pdf]http://www.math.ncku.edu.tw/~rchen/Advanced%20Calculus/divergence%20theorem.pdf[/url] [/quote]

雖然我相信 divergence theorem 是正確的。
但前面圖中的證明方法,看似有問題。

開首 integrate A1 及 A2 兩個 term 。
明明形式一模一樣,無理由變成一負一正兩個 term 來 integrate dy dz 的東西。
F 的方向不同,應該由 F 的輸出決定,無理由再無故另加一個負號。

rhwlam 2018-12-16 02:40 PM

[quote]原帖由 [i]xianrenb[/i] 於 2018-12-16 14:24 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=492060542&ptid=27792978][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
開首 integrate A1 及 A2 兩個 term 。
明明形式一模一樣,無理由變成一負一正兩個 term 來 integrate dy dz 的東西。
F 的方向不同,應該由 F 的輸出決定,無理由再無故另加一個負號。 ... [/quote]
現設x, y和z軸的normal vectors為[u]i[/u], [u]j[/u]和[u]k[/u].
[u]F[/u] = F1 [u]i[/u] + F2 [u]j[/u] + F3 [u]k[/u]
另外, [u]A1[/u] 是vector, 其面積是|[u]A1[/u]|, 而向外的方向([u]A1[/u]/|[u]A1[/u]|)是x軸的反方向(= -[u]i[/u]), 所以 [u]dA1[/u] = dy*dz*(-[u]i[/u]).
所以, [u]F[/u]和[u]dA1[/u]的dot product是-F1dydz.
這就是第一個(對於A1面的)integral的負號的由來.

[[i] 本帖最後由 rhwlam 於 2018-12-16 02:54 PM 編輯 [/i]]

xianrenb 2018-12-16 06:00 PM

[quote]原帖由 [i]rhwlam[/i] 於 2018-12-16 02:40 PM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=492061237&ptid=27792978][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

現設x, y和z軸的normal vectors為i, j和k.
F = F1 i + F2 j + F3 k
另外, A1 是vector, 其面積是|A1|, 而向外的方向(A1/|A1|)是x軸的反方向(= -i), 所以 dA1 = dy*dz*(-i).
所以, F和dA1的dot product是-F1dydz.
這就是第一個(對於A1面的)integral的負號的由來. ... [/quote]

原來如此,謝解釋。

不過,我又想到了一個算簡單的證明/理解。

如果有個 field source 在一個不規則 volume 中。
可以按無限條 field line ,把外包的 area 一對一的分配成無限份。
每份是一個極小 area 的三角形。
考慮其中一個三角形。
設其中點為 A , field source 點為 O 。
則 field line 是 O 至 A 的一條不規則曲線。
如果將 OA 拉直, area 與 field line 又成直角的話。
其體積就會是 1/3 a h 。
a 指該部份 area , h 指 OA 的等效長度。
現把 OA 曲線,看成是等效的,無限段,只能上下左右前後直角走的直線段。
走一段平行於 x 軸的,是走了 Δx ,也就是 Δh_x。
如此類推。
F 在 field source 處為無限大,走了 OA 之後到 A 點為 F ,每段為 ΔF 的變化。
F = ∫ ΔF/Δx * Δx
3 F = ∫ (ΔF/Δx * Δx + ΔF/Δy * Δy + ΔF/Δz * Δz)
3 F = ∫ (∂F/∂x * Δh_x + ∂F/∂y * Δh_y + ∂F/∂z * Δh_z)
n 是 unit normal vector 的話,則
3 F . n = ∫ (∂F/∂x + ∂F/∂y + ∂F/∂z) . vector(Δh)
如果 x 、 y 、 z 只作極小變化,則
3 F . n = scalar(∂F/∂x + ∂F/∂y + ∂F/∂z) h
3 F . n da = scalar(∂F/∂x + ∂F/∂y + ∂F/∂z) h da
F . n da = ∇ . F (1/3 h da)
∫∫_a F . n da = ∫∫_a ∇ . F (1/3 h da)
因為三角錐體的體積算法,所以
∫∫_a F . n da = ∫∫∫_v ∇ . F dv

a 指 area , v 指 volume 。

p.s.
補上三角錐體的體積算法。
如果底面績為 b ,高為 h 。
v = ∫_{p=0..h} b (p/h)^2 * dp
= b/h^2 ∫_{p=0..h} p^2 * dp
= b/h^2 (h^3/3 - 0^3/3)
= 1/3 b/h^2 * h^3
= 1/3 b h

[[i] 本帖最後由 xianrenb 於 2018-12-18 09:07 AM 編輯 [/i]]

rhwlam 2018-12-17 09:08 PM

[quote]原帖由 [i]xianrenb[/i] 於 2018-12-16 09:39 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=492051145&ptid=27792978][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
但我看沒有理由一個 (x, y, z, t) 對應多個可能的 tensor 出來吧?
而且反過來看,如果 10 個 tensor component 是任意值,想找對應的 (x, y, z, t) 就是不可解了。
即是類似有 10 條算式找 4 個未知數的情況。[/quote]
沒看懂師兄的問題是甚麼.

以Einstein Field Equations中的stress-energy tensor為例:
[img]https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fe/StressEnergyTensor_contravariant.svg/472px-StressEnergyTensor_contravariant.svg.png[/img]
每一個tensor component(例如T00)都是x, y, z, 和t(或ict)的函數, 即T00 = T00(t, x, y, z).

[[i] 本帖最後由 rhwlam 於 2018-12-23 12:56 PM 編輯 [/i]]

xianrenb 2018-12-17 09:34 PM

[quote]原帖由 [i]rhwlam[/i] 於 2018-12-17 09:08 PM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=492123430&ptid=27792978][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

沒看懂師兄的問題是甚麼.

以Einstein Field Equations中的stress-energy tensor為例:
[url=https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fe/StressEnergyTensor_contravariant.svg/472px-StressEnergyTensor_contravari]https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/f/fe/StressEnergyTensor_contravariant.svg/472px-StressEnergyTensor_contravari[/url] ... [/quote]

以我的理解,因為對稱的原因,這個 stress-energy tensor 應該等效於有 10 個 tensor component 。

我的意思是,實際量度到的東西,應該其實只有是物件的 (x, y, z, t) 值。
其他物理測量值,應該只是這些值的變種。
那麼,一點的 (x, y, z, t) 要符合 Einstein Field Equation 的話,就可以“選擇” 10 個數值來配合。
依我看,這不會是唯一解,而是有一堆可以符合算式的數值或 stress-energy tensor 。
然而實際上,人們能測量的,又不會是多組數值。
換句話說,算式會是代表有好多種不同情況的時空彎曲,但現實卻應該只能有一個。
還有就是,反過來看,如果先任意定下 stress-energy tensor 的值,算式未必能找到符合的 (x, y, z, t) 。
所以我看這會有點問題。

topochu 2018-12-18 12:01 AM

[quote]原帖由 [i]xianrenb[/i] 於 2018-12-15 09:40 PM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=492037079&ptid=27792978][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
我不太肯定,但應該是看過。
印像中也是一樣,個推演是不完整、跳 step 的。

其實我最不明白是那個 4 π G ρ 是怎樣來。
我在 [url=https://www.discuss.com.hk/viewthread.php?tid=27861424&extra=page%3D1]https://www.discuss.com.hk/viewthread.php?tid=27861424&extra=page%3D1[/url] ( 3 樓)想到了一個簡單計算方法。
但問題/重點是,這個方法或者別的方法,應該只能用於 3D 空間 + 1D 時間。
我認為空間與時間不是直接對等的東西。
而且,如果廣義相對論是以 4D 方式來計算的話,按理就不應該是用 4 π G ρ ,而會是別的數值。
因為這個數值是用 3D 空間來算出的。 [/quote]


想講多少少個 4πρG 係點走出嚟,我地會喺牛頓重力論嘅框架下去討論,同時同靜電學做對比。
牛頓重力定律:F_G = - G Mm/r^2 hat{r}
庫倫定律:F_E = k Qq/r^2 hat{r}
基本上佢地嘅數學結構係類同,當然 M, m 一係零一係正數,但係 Q, q 就可以係負數。

喺靜電學入面我地會定義靜電勢:U_E = k Q/r
所以我地照板煮碗定義重力勢:U_G = -G M/r
同理,因為靜電場 vec{E} = -∇ U_E,我地會有重力場 vec{g} = -∇ U_G
Maxwell公式入面有 ∇・vec{E} = 4 π ρ k = 4 π ρ (Gaussian單位制,k = 1;如果係SI單位制,k = 1/4 π ε_0),咁所以我地係咪應該有 ∇・vec{g} = 4 π ρ (- G) = - 4 π ρ G

數學上可以證明,因為靜電學入面 ∇ x vec{E} = 0,我地可以將 vec{E} 寫成 vec{E} = -∇ U_E,然後自然地有 ∇・vec{E} = ∇・(-∇ U_E) = - ∇^2 U_E = 4 π ρ
所以重力嘅版本就會變成 ∇ x vec{g} = 0,vec{g} = -∇ U_G,∇・vec{g} = ∇・(-∇ U_G) = - ∇^2 U_G = - 4 π ρ G,亦即係∇^2 U_G = 4 π ρ G

相對起理解背後嘅物理,數學上嘅推導 (最少喺呢個情況) 唔係最重要,所以從類比中得到 ∇^2 U_G = 4 π ρ G 呢個結果就已經足夠。

[[i] 本帖最後由 topochu 於 2018-12-18 12:05 AM 編輯 [/i]]

xianrenb 2018-12-18 09:10 AM

[quote]原帖由 [i]xianrenb[/i] 於 2018-12-16 06:00 PM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=492070045&ptid=27792978][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]


原來如此,謝解釋。

不過,我又想到了一個算簡單的證明/理解。

如果有個 field source 在一個不規則 volume 中。
可以按無限條 field line ,把外包的 area 一對一的分配成無限份。
每份是一個極小 area 的三角形。
考慮其中一個三角形。
設其中點為 A , field source 點為 O 。
則 field line 是 O 至 ... [/quote]

我的 10 樓文作了點小修改。

xianrenb 2018-12-18 09:45 AM

[quote]原帖由 [i]topochu[/i] 於 2018-12-18 12:01 AM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=492131023&ptid=27792978][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]



想講多少少個 4πρG 係點走出嚟,我地會喺牛頓重力論嘅框架下去討論,同時同靜電學做對比。
牛頓重力定律:F_G = - G Mm/r^2 hat{r}
庫倫定律:F_E = k Qq/r^2 hat{r}
基本上佢地嘅數學結構係類同,當然 M, m 一係零一係正數,但係 Q, q 就可以係負數。

喺靜電學入面我地會定義靜電勢:U_E = k Q/r
所以我 ... [/quote]

gravitational field 的情況沒有像 B-field 的東西,大概不應該這樣直接類比。
我看不應該說 G-field 似 E-field 就用 E-field 的理論;E-field 似 G-field 就用 G-field 的理論。
如果兩類理論本身都了解,互相比較只是加深理解。
但互相引用的說法就是在轉圈子,轉來轉去都是沒有真正的證明。
所以,我看必須直接算/證明,不應引用 E-field 的理論來證明 G-field 的情況。

另一方面,我還是看不通其他 tensor component 為何也可以這樣算。
直接看算式的話,為何還要有 16 個 component ?
而且,究竟這個 EFE ,是 3D 還是 4D 算式?

xianrenb 2018-12-18 12:27 PM

[quote]原帖由 [i]topochu[/i] 於 2018-12-18 12:01 AM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=492131023&ptid=27792978][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]



想講多少少個 4πρG 係點走出嚟,我地會喺牛頓重力論嘅框架下去討論,同時同靜電學做對比。
牛頓重力定律:F_G = - G Mm/r^2 hat{r}
庫倫定律:F_E = k Qq/r^2 hat{r}
基本上佢地嘅數學結構係類同,當然 M, m 一係零一係正數,但係 Q, q 就可以係負數。

喺靜電學入面我地會定義靜電勢:U_E = k Q/r
所以我 ... [/quote]

或者終於想通了 EFE 是什麼了。
之前看的 YouTube 算是有點誤導。
以下是我現時的理解。

因為 ∇^2 U_G = 4 π G ρ
而 ∇ U_G = (∂/∂x U_G_x + ∂/∂y U_G_y + ∂/∂z U_G_z)
∇^2 U_G = (∂/∂x + ∂/∂y + ∂/∂z)(∂/∂x U_G_x + ∂/∂y U_G_y + ∂/∂z U_G_z)
展開即是共有 3 * 3 = 9 個 component 相加,等於一個 constant * ρ 。

EFE 好可能就是加多些關於 t 的 component ,做成 4 x 4 = 16 。
加起來本來只等於 1 個 ρ ,但是作多 15 個對稱的 component 出來。
看來是在某些情況下,多出來的 15 個 component 相加,會是等於 0 ,那麼算式一樣是等於一個 constant * ρ 。
而該 16 個 component ,再用一些高深的 calculus ,就算出 tensor 算式另一端的部份。

如果以上的理解是正確的話,我看可以說 EFE 好屈機。
正如先前我說過, EFE 的 stress-energy tensor 其實代表 10 個數字。
無論用算式如何描述,每個時空點 (x, y, z, t)的實際資料量就只有 x, y, z, t 等 4 個數。
但 EFE 中, stress-energy tensor 卻用了 10 個數字來配合。
足足多了 6 個 degree of freedom 。
這樣的話,要 EFE 符合現實其實應該好容易。
某程度上類似於要答一條多項選擇題,選 A~D 。
有人發現了必答對的方法:答 A 或 B 或 C 或 D !

topochu 2018-12-18 04:26 PM

[quote]原帖由 [i]xianrenb[/i] 於 2018-12-18 09:45 AM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=492140021&ptid=27792978][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
gravitational field 的情況沒有像 B-field 的東西,大概不應該這樣直接類比。
我看不應該說 G-field 似 E-field 就用 E-field 的理論;E-field 似 G-field 就用 G-field 的理論。
如果兩類理論本身都了解,互相比較只是加深理解。
但互相引用的說法就是在轉圈子,轉來轉去都是沒有真正的證明。
所以,我看必須直接算/證明,不應引用 E-field 的理論來證明 G-field 的情況。

另一方面,我還是看不通其他 tensor component 為何也可以這樣算。
直接看算式的話,為何還要有 16 個 component ?
而且,究竟這個 EFE ,是 3D 還是 4D 算式? [/quote]

喺最普遍嘅情況下,電同磁係會耦合,所以你覺得唔應該直接進行類比係好正常。但係當我地考慮靜電嘅條件底下,電同磁就唔再係耦合,而我地就可以獨立咁考慮,亦因為咁所以我要講明係靜電學。

我做類比其實純粹係因為一般大家對靜電學嘅了解比較深入,而因為類似嘅數學結構可以減省一啲繁複嘅數學推導。其實我唔係想互相引用,而係我諗住大家對靜電學有一定了解,已經見過相關嘅證明等等,所以直接用已有嘅結果,當然咁樣係假設咗大家已經識咗靜電學。你講得啱,如果將佢視作互相引用嘅話只會係喺度兜圈,所以如果之前無仔細學靜電學嘅話,可以無視呢個類比 :loveliness:

topochu 2018-12-18 09:15 PM

[quote]原帖由 [i]xianrenb[/i] 於 2018-12-18 12:27 PM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=492146966&ptid=27792978][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
或者終於想通了 EFE 是什麼了。
之前看的 YouTube 算是有點誤導。
以下是我現時的理解。

因為 ∇^2 U_G = 4 π G ρ
而 ∇ U_G = (∂/∂x U_G_x + ∂/∂y U_G_y + ∂/∂z U_G_z)
∇^2 U_G = (∂/∂x + ∂/∂y + ∂/∂z)(∂/∂x U_G_x + ∂/∂y U_G_y + ∂/∂z U_G_z)
展開即是共有 3 * 3 = 9 個 component 相加,等於一個 constant * ρ 。

EFE 好可能就是加多些關於 t 的 component ,做成 4 x 4 = 16 。
加起來本來只等於 1 個 ρ ,但是作多 15 個對稱的 component 出來。
看來是在某些情況下,多出來的 15 個 component 相加,會是等於 0 ,那麼算式一樣是等於一個 constant * ρ 。
而該 16 個 component ,再用一些高深的 calculus ,就算出 tensor 算式另一端的部份。

如果以上的理解是正確的話,我看可以說 EFE 好屈機。
正如先前我說過, EFE 的 stress-energy tensor 其實代表 10 個數字。
無論用算式如何描述,每個時空點 (x, y, z, t)的實際資料量就只有 x, y, z, t 等 4 個數。
但 EFE 中, stress-energy tensor 卻用了 10 個數字來配合。
足足多了 6 個 degree of freedom 。
這樣的話,要 EFE 符合現實其實應該好容易。
某程度上類似於要答一條多項選擇題,選 A~D 。
有人發現了必答對的方法:答 A 或 B 或 C 或 D ! [/quote]

小小修正:
∇ U_G = (∂/∂x U_G hat{x} + ∂/∂y U_G hat{y} + ∂/∂z U_G hat{z})
∇^2 U_G = (∂^2/∂x^2 + ∂^2/∂y^2 + ∂^2/∂z^2) U_G
U_G 同 ρ 都係只有一個分量嘅純量函數。

[[i] 本帖最後由 topochu 於 2018-12-18 09:18 PM 編輯 [/i]]

xianrenb 2018-12-19 09:17 AM

[quote]原帖由 [i]topochu[/i] 於 2018-12-18 09:15 PM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=492168743&ptid=27792978][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]


小小修正:
∇ U_G = (∂/∂x U_G hat{x} + ∂/∂y U_G hat{y} + ∂/∂z U_G hat{z})
∇^2 U_G = (∂^2/∂x^2 + ∂^2/∂y^2 + ∂^2/∂z^2) U_G
U_G 同  ... [/quote]

是的,我的意思如此。

亦可看到,原本 3D 的 U_G ,∇ 完後只得三個方向的 component ,所以再 ∇ . ,都應該只有三個 component 。
即是前面說的 3 * 3 = 9 個 component 中,有 6 個是 0 值。

我看 1 樓 video 內的說法這裏有用了。
f_x = ∂/∂x U_G hat{x}
將它變一變:
f_x = f_xx + f_xy + f_xz + f_xt
即是將 x 方向的 force ,硬化成 x 、 y 、 z 及 t 方向相加的 force 。
每個方向的 force ,會是由該方向的座標值來決定輸出值。
即是 f_xy 是 function of y 。
所以 ∇ U_G 就有 3 * 4 = 12 個 component 。
再 ∇ . 會保持同樣數量的 component 。
而因為對稱的原因,可以推算 f_t 也如此。
補完就會是總共 16 個 component 。

rhwlam 2018-12-20 03:38 PM

[quote]原帖由 [i]xianrenb[/i] 於 2018-12-18 09:45 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=492140021&ptid=27792978][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]


gravitational field 的情況沒有像 B-field 的東西,大概不應該這樣直接類比。
我看不應該說 G-field 似 E-field 就用 E-field 的理論;E-field 似 G-field 就用 G-field 的理論。
如果兩類理論本身都了解,互相比較只是加深理解。
但互相引用的說法就是在轉圈子,轉來轉去都是沒有真正的證明。
所以,我看必須直接算/證 ... [/quote]

∇^2 U_G = 4 π ρ G 的關係可以直接從牛頓引力的公式推導出,不過這只是單純的數學問題。

另外,可以思考一下為何Eistinein Field Equation有那個1/c^4走出來。

xianrenb 2018-12-20 05:20 PM

[quote]原帖由 [i]rhwlam[/i] 於 2018-12-20 03:38 PM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=492246804&ptid=27792978][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]


∇^2 U_G = 4 π ρ G 的關係可以直接從牛頓引力的公式推導出,不過這只是單純的數學問題。

另外,可以思考一下為何Eistinein Field Equation有那個1/c^4走出來。 ... [/quote]

前面我說的,只是我的猜想。
我始終是不了解 EFE 整個實際推導過程。
對於為何有個 c^4 ,又令我再次懷疑有無問題了。

不過由 1 樓 video 可見,就算是正式 10 堂 lecture ,都無正正式式推導 EFE 出來。
可見就算 EFE 真的無問題,也不是普通人能夠推導出來的了。

而且,我始終認為 x 、 y 、 z 三者與 t 是不同的東西。
事實上,我在另一帖發現的時空對稱的處理方式完全不同。
大概就是用
x' = i c t
y' = y
z' = z
t' = x / (i c)
這樣來看對稱的(小)世界。
因為這樣的世界會符合
x'^2 + y'^2 + z'^2 - c^2 t'^2 = ε^2
而原來的是
x^2 + y^2 + z^2 - c^2 t^2 = ε^2
利用這些對稱,一個世界的算式符合的話,對稱的世界也應該一樣符合。

所以也不用執着於理解一條難分真假的 EFE 算式了。

topochu 2018-12-21 06:55 AM

[quote]原帖由 [i]rhwlam[/i] 於 2018-12-20 03:38 PM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=492246804&ptid=27792978][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
∇^2 U_G = 4 π ρ G 的關係可以直接從牛頓引力的公式推導出,不過這只是單純的數學問題。
另外,可以思考一下為何Eistinein Field Equation有那個1/c^4走出來。 ... [/quote]

T_00~ρc^2
R_00~☐^2 h_00~☐^2 Φ/c^2
dimension of LHS of EFE: ☐^2 Φ/c^2
dimension of RHS of EFE: (something) ρc^2
=> (something)~G/c^4

topochu 2018-12-21 09:28 AM

EFE可以由Lagrangian度「推導」出嚟(雖然個人覺得並算唔上真正嘅推導)。
我地首先由Lagrangian出發:
[attach]9129817[/attach]
之後做變分就會得出EFE:
[attach]9129833[/attach]

當中每一步點做wikipedia講得好仔細,有興趣可以去睇下:[url=https://en.wikipedia.org/wiki/Einstein-Hilbert_action]https://en.wikipedia.org/wiki/Einstein-Hilbert_action[/url]

比較重要嘅係理解Einstein-Hilbert作用量點解係咁嘅樣:
κ 純粹係一個常數
R 係Ricci數量,又或者叫純量曲率,當中包含咗二階規度張量嘅資訊。點解用R但係唔用R_{μν}?可以咁去理解,因為Lagrangian要係Lorentz純量,所以唔會直接用未完全縮約嘅張量
√g d^4 x 只係個測度

[[i] 本帖最後由 topochu 於 2018-12-21 09:29 AM 編輯 [/i]]

rhwlam 2018-12-23 01:14 PM

[quote]原帖由 [i]topochu[/i] 於 2018-12-21 06:55 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=492272266&ptid=27792978][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
T_00~ρc^2
R_00~☐^2 h_00~☐^2 Φ/c^2
dimension of LHS of EFE: ☐^2 Φ/c^2
dimension of RHS of EFE: (something) ρc^2
=> (something)~G/c^4 [/quote]
謝謝解釋.
我嘗試多補充一點. 這是自己想的, 不知對不對...
topochu兄提出的T_00 ~ ρc^2大概是在(ict, x, y, z)時空座標中的表示.
如之前#11的情況, 若時空座為(t, x, y, z), T_00就會是 ~ ρ.

我之前剛粗略看了Albert Einstein本尊在1922年寫的書([url=https://en.wikisource.org/wiki/The_Meaning_of_Relativity]https://en.wikisource.org/wiki/The_Meaning_of_Relativity[/url]).
當中的Eqn.96a指出R_uv = k*T'_uv, k為固定值, 而T'_uv為一個"一致化"後的T_uv(而不是任何座標定義下的T_uv).
另外, Eqn.102指出: T_00 ~ T'_00*(dx0/ds)^2, 其中 s^2 = x^2 + y^2 + z^2 - (ct)^2, 和x0為t.
所以, 對於時空座標(t, x, y, z), T_00 ~ T'_00/c^2 --> T'_00 ~ ρc^2.

[[i] 本帖最後由 rhwlam 於 2018-12-24 10:34 AM 編輯 [/i]]

topochu 2018-12-23 08:15 PM

[quote]原帖由 [i]rhwlam[/i] 於 2018-12-23 01:14 PM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=492370212&ptid=27792978][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

謝謝解釋.
我嘗試多補充一點. 這是自己想的, 不知對不對...
topochu兄提出的T_00 ~  ρc^2大概是在(ict, x, y, z)時空座標中的表示.
如之前#11的情況, 若時空座為(t, x, y, z), T_00就會是 ~ ρ.

我之前剛粗略看了Albert Eistinein本尊在1922年寫的書([url=https://en.wikisource.org/wiki/The_Meaning_of_Relativity]https://en.wikisource.org/wiki/The_Meaning_of_Relativity[/url]).
當中的Eqn.96a指出R_uv = k*T'_uv, k為固定值, 而T'_uv為一個"一致化"後的T_uv(而不是任何座標定義下的T_uv).
另外, Eqn.102指出: T_00 ~ T'_00*(dx0/ds)^2, 其中 s^2 = x^2 + y^2 + z^2 - (ct)^2, 和x0為t.
所以, 對於時空座標(t, x, y, z), T_00 ~ T'_00/c^2 --> T'_00 ~ ρc^2. ... [/quote]


我睇咗 [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Stress-energy_tensor]https://en.wikipedia.org/wiki/Stress-energy_tensor[/url] 見佢用 (t,x,y,z) 而當中並無要求 c = 1 ,即係應該佢重新參數化 t 坐標:ct' -> t ,所以 ρc^2 -> ρ 。因為我無仔細睇過 The meaning of relativity,所以唔知Einstein點樣搵出 κ = 8 π G / c^2 ,不過點解係 1/c^2 而唔係 1/c^4 就應該係因為重新參數化 t 坐標。

[[i] 本帖最後由 topochu 於 2018-12-23 10:44 PM 編輯 [/i]]

rhwlam 2018-12-23 09:17 PM

[quote]原帖由 [i]topochu[/i] 於 2018-12-23 20:15 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=492387578&ptid=27792978][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
我睇咗 [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Stress-energy_tensor]https://en.wikipedia.org/wiki/Stress-energy_tensor[/url] 見佢用 (t,x,y,z) 而當中並無要求 c = 1 ,即係應該佢重新參數化 t 坐標:ct' -> t ,所以 ρc^2 -> ρ 。因為我無仔細睇過 The meaning of relativity,所以唔知Einstein點樣搵出 κ =  ... [/quote]
謝謝指教.

[[i] 本帖最後由 rhwlam 於 2018-12-23 09:54 PM 編輯 [/i]]

xianrenb 2018-12-24 01:44 PM

[quote]原帖由 [i]rhwlam[/i] 於 2018-12-23 01:14 PM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=492370212&ptid=27792978][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

謝謝解釋.
我嘗試多補充一點. 這是自己想的, 不知對不對...
topochu兄提出的T_00 ~ ρc^2大概是在(ict, x, y, z)時空座標中的表示.
如之前#11的情況, 若時空座為(t, x, y, z), T_00就會是 ~ ρ.

我之前剛粗略看了Albert Einstein本尊在1922年寫的書([url=https://en.wikisource.]https://en.wikisource.[/url] ... [/quote]

謝謝你的連結,我也粗略看了一下。
不過基本上看不明。

另外,突然想到一個大問題。
就是看似過程中,最早大概是着重座標的轉換,用的是 partial derivative 的計算。
但問題是,我認為 t = f(x, y, z) 。
即是有 ∂/∂t 的 term 的話,就應該是定 x 、 y 及 z 為某些 constant 。
那麼還可以算出什麼?

以這個角度看,根本是不可能同時有 4 個“方向”座標的 partial derivative 相關算式的。
因為這代表每個 derivative 的計算,要固定另外的三個“方向”座標。
然而這樣固定的話,物件 in general 就應該是不動的了。

這應該要如何理解呢?

rhwlam 2018-12-24 11:14 PM

[quote]原帖由 [i]xianrenb[/i] 於 2018-12-15 21:40 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=492037079&ptid=27792978][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
其實我最不明白是那個 4 π G ρ 是怎樣來。 [/quote]

今天來在外有點時間, 寫了一點出來, 之後趕時間, 後面推得有點馬虎. 希望能看得懂....
[attach]9143266[/attach]
[attach]9167997[/attach]

[[i] 本帖最後由 rhwlam 於 2018-12-31 09:35 PM 編輯 [/i]]

xianrenb 2018-12-25 09:48 AM

[quote]原帖由 [i]rhwlam[/i] 於 2018-12-24 11:14 PM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=492439837&ptid=27792978][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]


今天來在外有點時間, 寫了一點出來, 之後趕時間, 後面推得有點馬虎. 希望能看得懂....
9143266
9143200 [/quote]

不是太看得懂。
至少,推導最早段的,由用 m 轉為用 ρ ,同時把分母 (|x_i - x_j|)^2 變為 (|x_i - x_j|)^3 ,看來不太合理。
至少,這裏沒有用過任何體積的算法。
就算正確,也是跳太多 step 了。
至少我看不懂。

其實你在 2 樓提供的 video 的相關部份,我看是最正確的推導了。
而如果要徹底看清問題,只是應該補上 divergence theorem 的證明就完整了。

xianrenb 2018-12-25 10:50 AM

[quote]原帖由 [i]xianrenb[/i] 於 2018-12-24 01:44 PM 發表 [url=https://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=492420501&ptid=27792978][img]https://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]


謝謝你的連結,我也粗略看了一下。
不過基本上看不明。

另外,突然想到一個大問題。
就是看似過程中,最早大概是着重座標的轉換,用的是 partial derivative 的計算。
但問題是,我認為 t = f(x, y, z) 。
即是有 ∂/∂t 的 term 的話,就應該是定 x 、 y 及 z 為某些 constant 。
那麼還可以算出什麼?
... [/quote]

我在 27 樓中說的問題,是關於 [url=https://en.wikisource.org/wiki/The_Meaning_of_Relativity/Lecture_3]https://en.wikisource.org/wiki/The_Meaning_of_Relativity/Lecture_3[/url]
Eq 56~57 。

有段時間也怕自己記錯及是不是自己弄錯了符號的意思, δ 未必代表 ∂ 。
但看了 [url=https://en.wikipedia.org/wiki/Covariant_transformation]https://en.wikipedia.org/wiki/Covariant_transformation[/url]
的而且確,是用 partial derivative 的。

我認為,對於一個在 4D space-time 的物件路徑 (x, y, z, t) , locally 一定符合某種 function f1(x, y, z, t) = 0 。
那麼計算變化一下後 t = g1(x, y, z) , g1 是某個 function 。
即是用三個座標,就可以定下其值。
如果算 ∂/∂t 某東西的話,就要暫時當 x, y, z 為 constant ,計算正常 derivative 後,將 x, y, z 變回 variable 。
但這樣的話,意味這個 ∂/∂t 某東西 ,就是 ∂/∂t 某 constant 就是等於 0 !
也就是物件路徑 locally 來說,定下 x, y, z 三個座標值的話,其時間 t 就固定了,也就是無移動過。
無移動過的話,計算任何 derivative 所用的分子,都會是 0 !

例如有 function f2(x, y, z, t)。
∂/∂t f2 = limit_{Δt -> 0} (f2(x, y, z, t + Δt) - f2(x, y, z, t))/Δt
= limit_{Δt -> 0} (f3(x, y, z) - f3(x, y, z))/Δt
原因是 locally 用 3 個座標的值就能夠知道第 4 個座標的值。
所以
∂/∂t f2 = 0

如果這個看法不正確,那麼相對論中的 covariant transformation 及 contravariant transformation 中的 partial derivative ,應該如何理解呢?

[[i] 本帖最後由 xianrenb 於 2018-12-25 11:01 AM 編輯 [/i]]
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