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tinroy172 2017-11-14 03:14 PM

拓樸絕緣體

拓撲絶緣體是凝聚態物理近幾年的熱點。這些材料擁有奇異的物理效應,即表面導電但是內部絶緣。那究竟什麼是拓撲絶緣體?為何它擁有這種奇異的特性?
我們所說的拓撲絶緣體在概念上與普通的絶緣體是對立的。但拓撲相變可以讓普通絶緣體變成拓撲絶緣體,也可以讓一個類型的拓撲絶緣體變成另一種類型的拓撲絶緣體。

什麼是拓撲相變
一般來說,物質的相與物質的對稱性有著密切的聯繫。普通的相變意味著對稱性的改變。舉個簡單的例子,水有三種常見的相:冰,液態水,水蒸氣。冰具有晶體結構,一般呈現六角晶格。這種六角晶格擁有空間平移對稱性,因為晶格是週期性的,此外還有旋轉加鏡像對稱性。冰晶體的空間群為P63cm,對應的12種對稱性不變。

晶體冰
晶體冰的空間群
當溫度升到攝氏0度以上時,冰融化成水,水分子在液態水中的分佈變得無序,氫鍵變少。液態水在溫度升高至沸騰,或者在常溫下蒸發時,便變成水蒸氣,氫鍵基本不存在,水分子的空間分佈更加無序和稀少。水蒸氣基本上可以看成是各向同性反,滿足在所有對稱性操作下不變。從冰到水蒸氣,是一個各向異性到各向同性的過度,相變的過程就是對稱性改變的過程。

另一個例子是Landau的鐵磁相變——順磁體冷卻通過居里點由順磁性變為鐵磁性的相變。冷卻過程中磁矩的整體方向改變意味著對稱性的改變。然而拓撲相併不依賴於材料的局部細節,如雜質等。準確的說,拓撲序並不是根據對稱性破缺來定義的,它的定義依賴於拓撲空間的結構。
拓撲空間非常抽象,它是相空間與系統Hamilton量直積構成的底空間。相空間又被稱作布里淵區,是因為晶體週期性而存在的電子動量空間。我們考慮d維晶體,由於週期性,它的相空間是d維圓環面。Bloch Hamilton量有2n個自由度(n是電子總數),包含了所有電子的能量、角動量、自旋等信息。在布里淵區的每一點,Bloch Hamilton量是長在這個點上的2n維向量,也就是布里淵面上的纖維叢。
最簡單的情況是二維圓環面 T2 與自旋簡並下的單電子Hamilton量的直積,如圖所示。在一般情況下,相空間與Hamilton量的希爾伯特空間直積構成的空間是科學家們所研究的空間。拓撲絶緣體中的拓撲,便是這個空間的拓撲性質。而拓撲相變就是拓撲空間的拓撲性質發生改變。
舉個簡單的例子,二維情況下平坦的空間就是平面,平面可以連續變換成球面(除了無窮遠的點以外,參考球極映射)。但是球面無法連續變換成“甜甜圈”,也就是圓環面(torus)。有一個洞的甜甜圈也無法連續變換成有兩個洞的(double torus)甜甜圈。
連續變換是一個數學上的概念,可以簡單的理解成扭曲變形,但是不能扎破,不能撕裂。
那麼我們該如何刻畫拓撲空間的拓撲性質呢?
如果一個閉合曲面能連續變換到另一個閉合曲面,我們就稱這兩個曲面是拓撲等價的(同一個拓撲相)。否則,我們認為他們拓撲不等價,需要相變才可以相互轉換。為此,我們需要對表面進行分類。
在二維的情況下,所有閉合(緊致)曲面有無窮多拓撲相,其中比較典型的是球面,圓環面,克萊因瓶。它們三個的拓撲結構各不相同,我們需要用一個量來區分它們。直觀上,我們可以認為圓環面有一個洞,但是球面沒有洞,而克萊因瓶則可以理解成有負數個洞的曲面。所以洞的個數便是區分它們拓撲結構的量。
電子的轉動操作與克萊因瓶:由於電子的自旋是半整數,當我們對電子進行旋轉操作360度後,電子自旋沒有回到原來的位置,而是反向。如果要想自旋迴到原來的位置,則需要沿同一軸、同一方向再旋轉360度。如果把電子的自旋波函數認為是克萊因瓶上的垂直於表面的法向量,也可以得到同一個結果。
這個表徵拓撲結構的量有很多名字,物理學家稱它為拓撲序或者拓撲不變數,意味著只要空間的拓撲性質不變,那麼這個量就不變。拓撲不變數把空間的拓撲性質和一個數字等價起來,簡潔有效。二維情況下,嚴謹的數學家把這個量起名為歐拉-龐卡萊示性數。而在量子整數霍爾效應中,相空間的拓撲不變數就是陳數。
為什麼拓撲絶緣體表面導電但內部絶緣
根據固體的能帶論,不同原子殻層的電子相互作者用形成共價鍵。兩個電子成共價鍵後,會形成分子軌道,分子軌道由原子軌道線性組合而成。線性組合後會有兩種情況:成鍵態原子核間的電子云密度變大,能量比組合前的兩個電子能量之和低;反成鍵態能量比組合前兩個電子能量高,且原子核間的密度變小。最簡單的例子是氫氣,兩個價電子佔據了成鍵態,而反成鍵態未被佔據。

無數個共價鍵形成的成鍵態和反鍵態構成連續的能帶(能譜)。一般成鍵態被電子佔據形成價帶(滿帶),而反成鍵態未被電子佔據形成導帶(空帶)。在絶緣體或半導體中,電子的滿帶和空帶在能量上是分開的。它們之間的gap叫能隙(band gap)。如果我們對一個系統的Hamilton量進行連續的、絶熱的調製,這不會改變這個系統的拓撲空間的性質。這個調製的過程可以理解為對一個閉合曲面進行壓縮,扭曲等形變。在這個過程中,絶緣體的能隙不會閉合,即 band gap 不會在某一時刻變為0。任何普通絶緣體(拓撲平凡)都可以通過這個調製過程變成真空。根據Dirac電子海的觀點,真空就是普通絶緣體,價帶是正電子所填滿的負能態。

真空:Dirac認為真空中的擾動會產生正反電子對,如同絶緣體中電子從價帶躍遷到導帶,形成電子空穴對一樣。
並不是所有絶緣體都是拓撲平凡的。拓撲絶緣體便不能通過上面所說的調製過程變成真空,它們必须發生拓撲相變才能變成真空。不關閉能隙的操作不會發生拓撲相變,所以發生拓撲相變時,能隙必然是閉合的。拓撲絶緣體的表面是真空和拓撲絶緣體內部的分界面。在內部,拓撲空間是非平凡的,在真空,拓撲空間是平凡的,那麼在分界面處一定發生了拓撲相變。因此表面處能帶是閉合的,沒有能隙,電子可以直接進入導帶,在表面上自由移動。而在內部,能隙依然存在。所以拓撲絶緣體表面導電但是內部絶緣。
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