查看完整版本 : 廣義相對論的數學

biochemphy 2017-6-16 11:50 AM

廣義相對論的數學

真心想學:smile_o05:

biochemphy 2017-6-16 11:56 AM

真心請教:smile_o05:

testsample 2017-6-16 12:02 PM

高等量子力學變廣義相對論:smile_o12:

廣義相對論的數學比量子力學更困難!

testsample 2017-6-16 12:05 PM

廣義相對論的數學自己亦不清楚, 也想了解一些.

biochemphy 2017-6-16 12:11 PM

[quote]原帖由 [i]testsample[/i] 於 2017-6-16 12:05 PM 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=463045660&ptid=26727662][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
廣義相對論的數學自己亦不清楚, 也想了解一些. [/quote]

原來唔識㗎:smile_14:, ;P

Ron~ 2017-6-16 01:21 PM

最近我也在學習,廣義相對論的數學主要是 tensor analysis, differential manifold,這都是相當難的,可以找一些相關的書籍啊。量子力學不同於廣義相對論,即使學會了量子力學的數學,我們也不了解它;但學會了廣義相對論的數學,它就不難了。

abctea 2017-6-16 02:29 PM

[quote]原帖由 [i]testsample[/i] 於 2017-6-16 12:05 PM 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=463045660&ptid=26727662][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
廣義相對論的數學自己亦不清楚, 也想了解一些. [/quote]

我都係一樣 , 識少少.:smile_35:

testsample 2017-6-16 04:16 PM

general relativity theory  ∈    isometric transformation  
科普廣義相對論 => 空間彎曲 (物理空間的幾何)
廣義相對論 由數學去睇 => 數學結構 (Group ) => 數學幾何空間彎曲 .
廣義相對論 的數學 = isometry group

biochemphy 2017-6-16 05:47 PM

[quote]原帖由 [i]testsample[/i] 於 2017-6-16 04:16 PM 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=463057073&ptid=26727662][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
general relativity theory  ∈    isometric transformation  
科普廣義相對論 => 空間彎曲 (物理空間的幾何)
廣義相對論 由數學去睇 => 數學結構 (Group ) => 數學幾何空間彎曲 .
廣義相對論 的數學 = iso ... [/quote]

廣義相對論 or 量子力學 , 數學結構 其實都係 Group Structure.

廣義相對論嘅Group Structure得一個 ,就係 isometric transformation group.

testsample 2017-6-17 10:40 AM

[quote]原帖由 [i]biochemphy[/i] 於 2017-6-16 05:47 PM 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=463061512&ptid=26727662][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]


廣義相對論 or 量子力學 , 數學結構 其實都係 Group Structure.

廣義相對論嘅Group Structure得一個 ,就係 isometric transformation group. [/quote]


Isometry Group 是廣義相對論的 Mathematical structure .
[url=https://en.wikipedia.org/wiki/Isometry]https://en.wikipedia.org/wiki/Isometry[/url]
dy (f(a),f(b) ) = dX (a,b)     

gμσ (subscirpts) =gνσ (superscirpts)
- = subscirpts   , +  = superscirpts
gμσ(-) = gνσ(+) = g ν(+)μ(-)
g ∈ homogeneous symmetric manifold
M =G/H       Lie group:  G    ,  H: subgroup of isotropy
{  lie algebra  
[url=https://en.wikipedia.org/wiki/Lie_algebra]https://en.wikipedia.org/wiki/Lie_algebra[/url]
}
Lg= L0(+)  + L1(+)    ,     Lg :  lie algebra  
L0(+)   = x0  ∈ H(x) ->H(x0)    H(x) ∈  lie algebra  isotropy
L1(+)    = ∀x  ∈ Υ:  Lg  and  TbΥ ∈ Lg . Υ = Geodesic
TbΥ ∈  Lg vector  { fT,Υ = e^(dTbΥ ) }   d ∈ Υ -> Υ (d)

fT,Υ  = s-1(+)x0(-) sx(-) : M -> M  

Υ (d)   ->  Υ ( d + T )   translated  
fT,Υ  :
f [T1+T2 , Υ  ](-) = fT1,Υ  *  fT2,Υ   and  f [-T,Υ] = ( f [T , Υ] )^-1

[[i] 本帖最後由 testsample 於 2017-6-17 10:41 AM 編輯 [/i]]

abctea 2017-6-17 11:13 AM

[quote]原帖由 [i]testsample[/i] 於 2017-6-17 10:40 AM 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=463090330&ptid=26727662][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]



Isometry Group 是廣義相對論的 Mathematical structure .
[url=https://en.wikipedia.org/wiki/Isometry]https://en.wikipedia.org/wiki/Isometry[/url]
dy (f(a),f(b) ) = dX (a,b)     

gμσ (subscirpts) =gνσ (superscirpts)
- = subscirpts   , +  ... [/quote]

乜東東? subscirpts ?   superscirpts ?    唔多明:smile_41: ,  廣義相對論 好似係 E=mc^2 .
冇上面嗰啲嘢喎 ?

呢個廣義相對論題目好 heat .

好多高手都識.

以前好多關於相對論嘅 posts , 引起廣泛討論.

abctea 2017-6-17 11:36 AM

好開心,  愛因斯坦親自解釋相對論 .:smile_o03:
[url]http://pansci.asia/archives/107920[/url]

biochemphy 2017-6-17 12:51 PM

[quote]原帖由 [i]abctea[/i] 於 2017-6-17 11:36 AM 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=463092517&ptid=26727662][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
好開心,  愛因斯坦親自解釋相對論 .:smile_o03:
[url=http://pansci.asia/archives/107920]http://pansci.asia/archives/107920[/url] [/quote]


General Relativity ,
[url]http://www.einstein-online.info/elementary/generalRT[/url]

一睇就明,好詳盡.:smile_o12:

仲有 gravitational waves 講解.

biochemphy 2017-6-19 10:42 AM

XY and  YX  嘅 eigen supspace ?
唔知點解呢 ? :smile_41:

General Relativity :smile_o12:

biochemphy 2017-6-19 10:55 AM

廣義相對論的數學,
根據網上資料講 :  廣義相對論的數學 =  isometric transformation group
咩叫 isometric transformation group ?
先明白 conformal mapping  呢個 item.

真心請教 , conformal mapping 點應用到廣義相對論?:smile_o05:
文字廣義相對論的數學更好. :smile_o12:

biochemphy 2017-6-19 07:52 PM

[url]https://zh.wikipedia.org/zh-hk/%E5%BB%A3%E7%BE%A9%E7%9B%B8%E5%B0%8D%E8%AB%96%E4%B8%AD%E7%9A%84%E6%95%B8%E5%AD%B8[/url]
哈密頓原理 ?
廣義相對論都有Hamilton's principle ?
我以為量子力學先有哈密頓.
原來廣義相對論都有Hamilton's principle .
真心請教咩叫廣義相對論Hamilton's principle .

Ron~ 2017-6-19 08:07 PM

[quote]原帖由 [i]biochemphy[/i] 於 2017-6-19 07:52 PM 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=463215980&ptid=26727662][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
[url=https://zh.wikipedia.org/zh-hk/%E5%BB%A3%E7%BE%A9%E7%9B%B8%E5%B0%8D%E8%AB%96%E4%B8%AD%E7%9A%84%E6%95%B8%E5%AD%B8]https://zh.wikipedia.org/zh-hk/%E5%BB%A3%E7%BE%A9%E7%9B%B8%E5%B0%8D%E8%AB%96%E4%B8%AD%E7%9A%84%E6%95%B8%E5%AD%B8[/url]
哈密頓原理 ?
廣義相對論都有Hamilton's principle ?
我以為量子力學先有哈密頓.
原來廣 ... [/quote]
我想這是等價於Lagrange's equations,廣義相對論其中一個重要課題是geodesic motion,利用Lagrange's equation可以導出一個任意曲面中兩點的最短距離。

[[i] 本帖最後由 Ron~ 於 2017-6-19 08:10 PM 編輯 [/i]]

biochemphy 2017-6-20 08:23 AM

廣義相對論的數學結構就係 group of isometries
Orthogonal Complement  正交補餘
[url]https://zh.wikipedia.org/zh-hk/%E6%AD%A3%E4%BA%A4%E8%A1%A5[/url]

V =vector space ∈ R ,
{ (   < a,a> ≧  0 , <a,a> = 0 <=> a = 0  positive definite  )  ∉  Inner product  and
(  non-degeneracy (a,b) =0 ,  ∀ b ∈ V , =>  a = 0  ) ∈ Inner product   }
廣義相對論 ∈  4D Minkowski space
|e0> , |e1>......|e3> ...|en>  orthogonal basis ( n D)

orthogonal  :    - ( e0^2) = 1 =(en)^2
|a>  =(x0...x3)^T  , |b> = (y0....y3)^T
<a|b>* =<b|a>  Inner product  =>  -x0y0 + .... + x3y3

norm of |a> => |a|^2 = -x0^2 + ......+ x3^2

Isometry group
[url]https://en.wikipedia.org/wiki/Isometry_group[/url]

Examples :  isometry group of Minkowski space......

biochemphy 2017-6-20 08:34 AM

[quote]原帖由 [i]testsample[/i] 於 2017-6-17 10:40 AM 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=463090330&ptid=26727662][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]

Isometry Group 是廣義相對論的 Mathematical structure .
[url=https://en.wikipedia.org/wiki/Isometry]https://en.wikipedia.org/wiki/Isometry[/url]
dy (f(a),f(b) ) = dX (a,b)     

gμσ (subscirpts) =gνσ (superscirpts)
- = subscirpts   , +  = superscirpts
gμσ(-) = gνσ(+) = g ν(+)μ(-)
g ∈ homogeneous symmetric manifold
M =G/H       Lie group:  G    ,  H: subgroup of isotropy
{  lie algebra  
[url=https://en.wikipedia.org/wiki/Lie_algebra]https://en.wikipedia.org/wiki/Lie_algebra[/url]
}
Lg= L0(+)  + L1(+)    ,     Lg :  lie algebra  
L0(+)   = x0  ∈ H(x) ->H(x0)    H(x) ∈  lie algebra  isotropy
L1(+)    = ∀x  ∈ Υ:  Lg  and  TbΥ ∈ Lg . Υ = Geodesic
TbΥ ∈  Lg vector  { fT,Υ = e^(dTbΥ ) }   d ∈ Υ -> Υ (d)

fT,Υ  = s-1(+)x0(-) sx(-) : M -> M  

Υ (d)   ->  Υ ( d + T )   translated  
fT,Υ  :
f [T1+T2 , Υ  ](-) = fT1,Υ  *  fT2,Υ   and  f [-T,Υ] = ( f [T , Υ] )^-1  ... [/quote]



講出 group of isometries 同 Geodesic (Y)     嘅 Mathematical structure.
//   [b][i]Υ (d)   ->  Υ ( d + T )   translated[/i][/b]    //



用lie algebra 講出 :  Geodesic 即係 Isometry group. :smile_o05:

biochemphy 2017-6-20 08:40 AM

//   Υ (d)   ->  Υ ( d + T )   translated    //   即係  parallel transportation  .


[url]https://zh.wikipedia.org/zh-hk/%E5%BB%A3%E7%BE%A9%E7%9B%B8%E5%B0%8D%E8%AB%96%E4%B8%AD%E7%9A%84%E6%95%B8%E5%AD%B8[/url]

biochemphy 2017-6-20 08:44 AM

廣義相對論嘅哈密頓原理 , 係廣義相對論數學嘅最高原理 ( 非量子重力廣義相對論數學).
:smile_o05:

fabus 2017-6-21 10:05 PM

[quote]原帖由 [i]biochemphy[/i] 於 2017-6-19 07:52 PM 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=463215980&ptid=26727662][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
[url=https://zh.wikipedia.org/zh-hk/%E5%BB%A3%E7%BE%A9%E7%9B%B8%E5%B0%8D%E8%AB%96%E4%B8%AD%E7%9A%84%E6%95%B8%E5%AD%B8]https://zh.wikipedia.org/zh-hk/%E5%BB%A3%E7%BE%A9%E7%9B%B8%E5%B0%8D%E8%AB%96%E4%B8%AD%E7%9A%84%E6%95%B8%E5%AD%B8[/url]
哈密頓原理 ?
廣義相對論都有Hamilton's principle ?
我以為量子力學先有哈密頓.
原來廣 ... [/quote]

廣義相對論的Hamilton's principle不是量子力學的Hamiltonian。兩者都是從經典力學帶進去的。

Hamilton's principle就是大自然會平穩化(stationary,即一階導數等於零)作用量。

Hamiltonian是動能+勢能,不是量子力學獨有。

量子力學中的Hamilton's principle通常是用來計算path integral(已步入量子場論的範疇)。

廣義相對論當然也可以用Hamiltonian,同經典力學的Hamiltonian一樣,在分析系統的特性時非常有用。

ma987 2017-6-22 09:01 AM

Hamiltonian 量與 classical mechanics 及群論對稱描述有甚麼關係?
重要的是 Classical mechanics 用 PDE所描述的物理守恆, H= KE +U  ,直觀清楚表達.
Hamiltonian具有動能和勢能的相關操作.
H= KE + PE
群論對稱描述的物理守恆是很不同.
群論對稱描述祗是代數結構的物理量運算子的線性變換  ( G , +) , 不需具體描述細節的物理過程,較抽象.但微觀世界的基本粒子,線性變換顯出更有效解決問題.

量子力學中,  Hamiltonian   H :  
i hd/dt |Ψ(t)> =H|Ψ(t)>
ensemble  , N dim.
H = N x N  Matrix
time reversal symmetry .
Hamiltonian
了解物理運動方程的規律,用能量變換的處理方式為研究方法.
H = KE + PE
量子力學中,  Hamiltonian   H :
i hd/dt |Ψ(t)> =H|Ψ(t)>
SHS^-1 = H  ,  
S = 變換作用  
(eg.  空間變換 , 實驗: 光的linear polarization,  optical delay device (half wave plate) |H> , |V>   便容易了解 Hamiltonian H 經 空間變換後(S and S^-1) ,仍保持不變 )


量子力學 的 density matrix  及 Hamiltonian 的關係
|ΨN> = Cne^a|ui>
from p = PN|ΨN> <ΨN|
p=PN |Cn|^2

群論應用:
某量子態 |ΨN>
在 spherically symmetric potential,

H|ΨN> = E|ΨN>
H  Hamiltonian 具有Rotational invariance

量子力學中對稱群的最簡單理解,物理的作用量在經過一定的變換下保持不變.


(G ,x ) G= 變換元素 , x= 操作的乘積,或 操作的累積

eg: Hamiltonian

i (hat h)(d/dt |Ψ(t)> = H|Ψ(t)>    H = Hamiltonian


空間變換 S(s)
s: 參數 ( 可以是 translations or rotations )

i (hat h)(d/dt G(S)|Ψ(t)> =G(S) H G^-1(S)G(S)|Ψ(t)>   


新 state |Ψ''(t)> = G(S)|Ψ(t)>   

|Ψ''(t)> and   |Ψ(t)>  有相同的規律性  (因物理的作用量在經過一定的變換下保持不變 )
G(S) H G^-1(S)G(S)| = H

[H , G(S)] = 0

so that, Hamiltonian 在空間變換是對稱的結論:

G(S)=平移 T對稱
[H , T] = 0 動量守恆

G(S)=繞 s 方向軸轉動對稱
[H , s.S] = 0 角動量 S 守恆

G(S)=空間反演 R 對稱
[H , R] = 0 宇稱守恆

但要 討論 Hamiltonian 的能量守恆
就要討論 time translation invariance

由 L =C (d(a1)^2/dt  + d(a2)^2/dt)
有限平移 transformation
a1 = a1 + a'
a2 = a2 + a"
da1/dt = a1
da2/dt = a2
L = L  不變

L 系統 在
a1 = a1 + a'
a2 = a2 + a"
條件下 L 不變 ,稱為 平移 transformation Symmetry .

若明白平移 transformation Symmetry and Hamiltonian Symmetry

才會了解 SO(n) Symmetry .

abctea 2017-6-22 09:55 AM

咩叫廣義相對論的數學?

abctea 2017-6-22 09:57 AM

Klein–Gordon equation
[url]https://en.wikipedia.org/wiki/Klein%E2%80%93Gordon_equation[/url]

fabus 2017-6-22 10:29 AM

[quote]原帖由 [i]ma987[/i] 於 2017-6-22 09:01 AM 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=463344578&ptid=26727662][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
..
[/quote]

Hamiltonian是一個挺大的topic。

在經典力學中,我們能夠從Hamiltonian得知系統的phase space,從而明白系統的特性,詳見維基及相關書籍。(簡單來說Hamiltonian就是將Lagrangian的一條二階方程變成兩條一階方程,再linearize來分析系統的臨界點。)

Hamiltonian其實不是動能+勢能這麼直白(不一定是物理系統才有Hamiltonian)。Lagrangian是攝動(perturb)廣義坐標來平穩化作用量,得出一元多階方程。Hamiltonian是攝動廣義坐標及其廣義動量來平穩化作用量,故得出多條一階方程。

量子力學中的群論就是看對稱。對稱就有degeneracy,而查character table(再用投影算符)就能得知系統的normal modes及selection rules(但不能告訴你系統的能量等物理量,依然是要解方程)。通常看Hamiltonian就知道有什麼對稱,該對稱屬於什麼群。

至於守恆,Noether's Theorem就行了,不需要群論。你的那個eg就是Hamiltonian版的Noether's Theorem,不太關群論事,唯一有關的,就是一般用generator而不是整個group element扔進去。

希望沒有理解錯你的問題。

fabus 2017-6-22 10:39 AM

[quote]原帖由 [i]abctea[/i] 於 2017-6-22 09:57 AM 發表 [url=http://www.discuss.com.hk/redirect.php?goto=findpost&pid=463346942&ptid=26727662][img]http://www.discuss.com.hk/images/common/back.gif[/img][/url]
..[/quote]

KG式是薛定鄂式的狹義相對論版,就是將E^2 = m^2 c^4 + p^2 c^2這條著名公式放進去薛定鄂式裏。(最後得出負能量,所以KG式不再關波函數事,而是關量子場事。)

廣義相對論的數學就是空間的幾何分析。題目廣闊非常,足夠成書,事實上出面有關的書籍隨手抓都一大把。

ma987 2017-6-22 11:14 AM

量子力學中,  Hamiltonian   H :  
i hd/dt |Ψ(t)> =H|Ψ(t)>
ensemble  , N dim.
H = N x N  Matrix
[b][size=3][i]time reversal symmetry .[/i][/size][/b]
Hamiltonian
了解物理運動方程的規律,用能量變換的處理方式為研究方法.
H = KE + PE
量子力學中,  Hamiltonian   H :
i hd/dt |Ψ(t)> =H|Ψ(t)>
SHS^-1 = H  ,  
S = 變換作用  
(eg.  空間變換 , 實驗: 光的linear polarization,  optical delay device (half wave plate) |H> , |V>   便容易了解 Hamiltonian H 經 空間變換後(S and S^-1) ,仍保持不變 )

[b][size=3][i]time reversal symmetry   ,[/i][/size][/b][size=3][i]守恆 ?  [/i] [/size]物理意義是 ?
[size=3]對稱不一定有[/size][b]守恆律[/b]對應 .

空間變換後(S and S^-1) ,仍保持不變. 保持甚麼不變 ?

[b][i]量子力學中,  Hamiltonian   H :
i hd/dt |Ψ(t)> =H|Ψ(t)>
SHS^-1 = H  ,  
S = 變換作用  
(eg.  空間變換 , 實驗: 光的linear polarization,  optical delay device (half wave plate) |H> , |V>   便容易了解 Hamiltonian H 經 空間變換後(S and S^-1) ,仍保持不變 )[/i][/b]

[[i] 本帖最後由 ma987 於 2017-6-22 11:17 AM 編輯 [/i]]

ma987 2017-6-22 11:21 AM

// 量子力學中,  Hamiltonian   H :  
i hd/dt |Ψ(t)> =H|Ψ(t)>
ensemble  , N dim.
H = N x N  Matrix
time reversal symmetry . //

此段已說明 H 不是單單講 KE + V(x)
若有 time reversal symmetry ?
H 有 time reversal symmetry  ,物理意義 ?

ma987 2017-6-22 11:22 AM

H 若有 time reversal symmetry breaking   ,物理意義 ?

// 至於守恆,Noether's Theorem就行了,不需要群論 //


用 Noether's Theorem  如何理解 time reversal symmetry breaking ?

(  time reversal symmetry  沒有對應守恆律, // 至於守恆,Noether's Theorem就行了,不需要群論 // )

[[i] 本帖最後由 ma987 於 2017-6-22 11:30 AM 編輯 [/i]]
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